杠杆

1. 前言

回顾我们一开始介绍的因子模型：

$$R_i = \alpha + \beta F + \epsilon$$

到目前为止，我们一直围绕着公式中的 $\beta F$ 部分进行讨论——包括因子暴露和因子溢价的各项内容。但实际上，投资策略并不仅仅限定在因子与收益率的关联性中，仅仅聚焦于因子暴露和因子溢价将使我们错失模型的巨大潜能。

回看模型，我们会发现，我们之前一直忽略了模型的第一项—— $\alpha$ 的存在，但是， $\alpha$ 却为我们在不承担更高风险的前提下赚取更高收益带来了可能性，这就是所谓的 $\alpha$ 巫术（ $\alpha$ Mojo）。

$\alpha$ 巫术有三种来源，分别是杠杆、市场中性和贝叶斯。我们将在下面三章依次对其进行介绍，本章我们先聚焦于杠杆部分的内容。

2. 杠杆

在物理学中，杠杆可以放大施加于物体的力量；在投资中，我们借用了这一概念，用杠杆（leverage）指代可以放大组合获取收益的力量。

2.1 杠杆的定义

一般来说，我们用投资头寸的绝对值之和除以权益资本来衡量杠杆，例如，一个管理1000万美元的投资经理同时做多1000万美元的股指期货，同时做空1000万美元的股指期货，那么按惯例衡量的杠杆倍数是2。

但在这里，我们使用净美元暴露（Net Dollar Exposure）来衡量杠杆，此时上面的例子中，我们的杠杆倍数变为0。在这种定义下，我们定义杠杆倍数 $l$ 为：目标杠杆倍数被定义为期权/期货头寸的总名义价值 ( $V_f^t$ ) 除以总权益资本 ( $V_t$ )。即：$l = V_f^t / V_t$。

• 如果 $l = 1$ ，说明动用的资金和现货一样，没有加杠杆（100%暴露）。
• 如果 $l = 2$ ，说明用1块钱的本金，控制了2块钱的资产（200%暴露）。

2.2 杠杆的作用

杠杆或许是 $\alpha$ 最重要的来源——正确地使用杠杆可以使组合收益率成倍放大，也可以轻易地改变任何投资组合的风险收益特征。当然，杠杆的力量有时也会失控。一个加杠杆的组合虽然能在赚钱时获取三倍的收益，但同时会在亏损时遭受三倍的打击。

因此，正确地使用杠杆变得尤为重要，我们在本章会介绍杠杆的不同形式，以及如何将杠杆正确地加入我们的模型中。

3. 股指期货杠杆

为一个股票投资组合加杠杆的最简单的方法就是使用股指期货合约，例如标普500指数期货、纳斯达克100指数期货或是沪深300指数期货。

在本节中，我们先来介绍股指期货的含义，再来讨论具体如何通过股指期货来实现杠杆——包括仅使用现金和股指期货被动组合，以及同时使用股票、现金和股指期货主动组合。

3.1 股指期货

3.1.1 股指期货的含义

股指期货（Stock Index Futures）是以股票价格指数为标的资产的标准化期货合约。交易双方约定在未来的某一特定日期（交割日），按照事先确定的指数点位（合约价格），向对方支付根据指数点数与固定乘数计算出的现金差额，从而完成盈亏结算。

3.1.1.1 股指期货示例

假设某沪深 300 指数期货的合约乘数是 300 元/点，保证金比例 12%，当前沪深 300 指数为 4000 点，那么此时该期货合约的价值等于 4000 × 300 = 120万元。由于保证金比例为 12%，所以我们只需要 120*12% = 14.4 万元即可购入。

假设我们做多沪深 300 指数期货，一个月之后指数涨到4200点（涨5%），那么此时合约价值变为 4200×300 = 126 万元，我们盈利 126 - 120 = 6 万元，收益率 = 6万 / 14.4万 ≈ 41.7%，约是指数涨幅的 8 倍（保证金比例的倒数）

相反，如果指数跌5%到3800点，我们会亏损 6 万元（亏损率也是41.7%），14.4万保证金剩下8.4万，如果继续下跌，可能被要求追加保证金或强平。

3.2 股指期货+现金组合

3.2.1 杠杆的理论极限

从上面股指期货的示例中可以看到，保证金比例决定了我们能加多大的杠杆。假设 $m_f$ 表示每1美元的期货头寸需要缴纳的保证金比例

那么，理论上的最高杠杆倍数 ( $l^{max}$ ) 就是保证金比例的倒数：

$$l^{max} = \frac{1}{m_f}$$

如果该期货合约相对于基准指数的贝塔值为 $\beta_f$ ，那么你的投资组合能够获得的最大贝塔值 ( $\beta^{max}$ ) 为：

$$\beta^{max} = \frac{\beta_f}{m_f}$$

需要注意的是，理论极限只是数学上的推导。在现实中，极少会将杠杆维持在二倍或三倍以上。

3.2.2 使用杠杆调节组合贝塔

根据定义，组合的总体 $\beta$ 是各项资产 $\beta$ 值的加权平均：

$$\beta_P = \sum_{i=1}^N w_i \beta_i$$

假设我们只持有现金和期货，由于现金的 $\beta$ 为 0，所以组合的风险完全由期货端决定。

由于期货的名义价值 = 合约张数 ( $N_f$ ) $\times$ 乘数 ( $q$ ) $\times$ 指数价格 ( $S_t$ )，假设组合总资金为 $V_t$ ，因此期货在组合中的权重为：

$$w_f = \frac{N_f q S_t}{V_t}$$

为了让组合达到目标贝塔 $\beta^*$ ，我们代入权重公式

$$\beta^* = w_f \beta_f = \frac{N_f q S_t}{V_t} \beta_f$$

经过移项整理，计算目标合约数量 ( $N_f$ ) 的计算公式为：

$$N_f = \frac{\beta^* V_t}{\beta_f q S_t}$$

若股指期货可以完全跟踪指数，那么其自身 $\beta_f$ 等于1，此时公式可以进一步简化为：

$$N_f = \frac{\beta^* V_t}{ q S_t}$$

3.2.3 杠杆对收益率和风险的影响

添加杠杆后，组合预期收益率为：

$$E(r_P) = l [ \alpha_f + \beta_f \mu_B ]$$

其中 $\mu_B$ 是基准的预期收益率，$\alpha_f$ 是超额收益。

组合风险为：

$$V(r_P) = l^2 [ \beta_f^2 \sigma_B^2 + \omega_f^2 ]$$

其中 $\sigma_B$ 是基准波动率，$\omega_f$ 是残差风险。

若我们假设一种非常纯粹的情形： $\beta_f$ 等于1， $\alpha_f$ 、 $\omega_f$均等于0（无跟踪误差），那么此时的夏普比率为：

$$SR = \frac{\mu_B}{\sigma_B}$$

我们看到，杠杆 $l$ 被上下约分了！这说明了一个非常重要的结论：单纯的加杠杆不能提高策略的夏普比率（性价比）。杠杆只会将组合的收益和风险等比例放大。

3.3 股指期货+股票+现金组合

相比于仅包括现金和股指期货的组合，同时包括股指期货、股票和现金是更为常见的投资组合。我们本节在股指期货+现金组合的基础上，讨论包括股票组合的杠杆特征。

3.3.1 杠杆的理论极限

当我们手里有股票时，我们不仅可以用现金交保证金，还可以把股票抵押给券商充当保证金，但抵押时需要打折（Haircut），我们用 $m_s$ 表示折扣。

若我们假设组合总资金为 $V_t$ 。其中现金占比为 $\xi$ ，股票占比为 $(1-\xi)$ ，那么总杠杆表示为：

$$l^{max} = \frac{\xi + (1-\xi)(1-m_s)}{m_f} + (1-\xi)$$

注意：我们持有的股票现货也会提供就基础暴露敞口 $(1-\xi)$ 。

3.3.2 使用杠杆调节组合贝塔

假设组合的目标贝塔为 $\beta^*$ ，我们将股票、股指期货贝塔代入计算公式（现金贝塔为0），得到：

$$\beta^* = w_f \beta_f + (1-\xi)\beta_s$$

代入期货权重：

$$w_f = \frac{N_f q S_t}{V_t}$$

得到我们为达到目标贝塔 $\beta^*$ 所需要买入或卖出的期货合约数量：

$$N_f = \frac{[\beta^* - (1-\xi)\beta_s] V_t}{\beta_f q S_t}$$

3.3.3 杠杆对收益率和风险的影响

为了简化起见，我们这里仍然假设 $\beta_f$ 等于1， $\alpha_f$ 、 $\omega_f$均等于0（无跟踪误差），此时组合收益率为：

$$E(r_p) = (1-\xi)\alpha_s + [(1-\xi)(\beta_s - 1) + l]\mu_B$$

这个公式的含义是：组合总收益 = 股票现货贡献的超额收益 + (股票相对大盘的偏离 + 总杠杆) 带来的市场基准收益。

我们从中可以看到：无论我们的总杠杆 $l$ 加到多大，绝对 $\alpha$ 收益都不会增加，并且由于杠杆带来了庞大的大盘波动，选股对整体收益的贡献占比还会因此下降。

在这一点的基础上，同样符合直觉的是：随着杠杆 $l$ 的增大，组合的夏普比率将被强制拉到逼近大盘基准的夏普比率。而这实际上违背了我们在量化股票投资导论提到的量化投资组合的目标。

4. 个股期货杠杆

通过上面的介绍，我们看到使用股指期货实现杠杆的一个重要缺点是 $\alpha$ 对整体组合收益率的相对贡献会被摊薄。

要解决这一问题，最为直接的方法就是将股指期货改为个股期货——个股期货可以同步放大组合 $\beta$ 收益与 $\alpha$ 收益。在本节，我们来讨论使用个股期货实现杠杆的相关内容。

4.1 个股期货的缺点

既然个股期货有着可以同步放大组合 $\beta$ 收益与 $\alpha$ 收益的优势，那么我们为什么还要先介绍股指期货呢？

这是因为个股期货有着一些无法被忽略的问题，影响到我们对它的使用。个股期货的具体问题包括：

1. 可用数量有限：不是所有股票都有对应的期货合约；
2. 流动性枯竭：相比于股指期货，许多个股期货的交易量非常小，需要一定的技巧才能保证成交；
3. 保证金比例高：由于个股期货的风险比指数大得多，因此保证金比例要求明显更高，能够实现的杠杆倍数会更小。

4.2 杠杆的理论极限

在不考虑流动性等其他因素的情况下，个股期货能够实现的杠杆倍数计算公式与“股指期货+股票+现金组合”完全相同。

4.3 实现杠杆的途径

通过个股期货是组合 $\beta$ 达到希望的水平有无数种不同的加权方式，我们在这里讨论最为常见的三种情形：所有股票都有流动性好的个股期货、部分股票有个股期货以及同时使用个股期货和股指期货的情形。

需要注意的是，不管是哪一种情形，推导的基础都是组合 $\beta$ 的定义公式——目标总 $\beta^*$ 等于所有期货敞口提供的 $\beta$ 加上 原有股票现货提供的 $\beta$ ：

$$\beta^* = \sum_{i=1}^N \left( \frac{N_i q_i p_{i,t}}{V_t} \right) \beta_i + (1-\xi)\beta_s$$

其中：

• $\frac{N_i q_i p_{i,t}}{V_t}$：单只个股期货在总资金 $V_t$ 中的权重。
• $(1-\xi)\beta_s$：手里的股票现货（占比 $1-\xi$ ）自带的基础风险。

4.3.1 情况一：所有股票均具有充足的流动性

假设所有股票都有流动性好的个股期货，我们按照按照基础股票组合的权重来买入个股期货，因此个股期货的权重为：

$$w_i = \frac{N_i q_i p_{i,t}}{\sum_{i=1}^N N_i q_i p_{i,t}}$$

移项后得到：

$$N_i q_i p_{i,t} = w_i \sum_{i=1}^N N_i q_i p_{i,t}$$

代入 $\beta$ 的定义公式：

$$\beta^* = \sum_{i=1}^N \left( \frac{w_i \sum_{i=1}^N N_i q_i p_{i,t}}{V_t} \right) \beta_i + (1-\xi)\beta_s$$

提取公因式 $\frac{\sum N_i q_i p_{i,t}}{V_t}$：

$$\beta^* = \left[ \frac{\sum_{i=1}^N N_i q_i p_{i,t}}{V_t} \right] \sum_{i=1}^N w_i \beta_i + (1-\xi)\beta_s$$

注意到公式中的 $\sum_{i=1}^N w_i \beta_i$ 其实就是现货组合的加权贝塔 $\beta_s$。替换后得到：

$$\beta^* = \left( \frac{\sum_{i=1}^N N_i q_i p_{i,t}}{V_t} \right) \beta_s + (1-\xi)\beta_s$$

将第一步得到的总名义价值 $\frac{N_i q_i p_{i,t}}{w_i}$ 代入上式：

$$\beta^* = \left( \frac{N_i q_i p_{i,t}}{w_i V_t} \right) \beta_s + (1-\xi)\beta_s$$

最后进行移项，得到需要购买的合约数：

$$N_i = \frac{[\beta^* + (\xi - 1)\beta_s] V_t w_i}{\beta_s q_i p_{i,t}}$$

4.3.2 情况二：部分股票有个股期货

情况二与情况一的推导和结论非常类似，只是由于仅有部分股票存在个股期货，我们只能在这些有期货的股票子集中计算权重，因此变量的定义发生相应变化：

• 现货总权重 $w_i$ 变成了在子集中的相对权重 $\bar{w}_i$；
• 整体的 $\beta_s$ 变成了子集的加权贝塔 $\bar{\beta}_s$。

需要购买的合约数为：

$$N_i = \frac{[\beta^* + (\xi - 1)\beta_s] V_t \bar w_i}{\bar \beta_s q_i p_{i,t}}$$

4.3.3 情况三：部分股票有个股期货，且结合使用个股期货和股指期货

情况三是在与情况二的基础上，同时使用个股期货和股指期货（合约数为 $N_f$，乘数为 $q$，价格为 $S_t$，贝塔为 $\beta_f$）来达到目标杠杆水平。

此时基础方程为：

$$\beta^* = \sum_{i=1}^{N_1} \frac{N_i q_s p_{i,t}}{V_t} \beta_i + \frac{N_f q S_t}{V_t} \beta_f + (1-\xi)\beta_s$$

为了不让组合变形太严重，我们假设买个股期货和买股指期货的资金比例，等于存在期货的股票和不存在期货的股票在现货中的比例，即：

$$\frac{\text{股指期货总金额}}{\text{个股期货总金额}} = \frac{N_f q S_t}{\sum_{i=1}^{N_1} N_i q_s p_{i,t}} = \frac{1 - \sum_{i=1}^{N_1} w_i}{\sum_{i=1}^{N_1} w_i}$$

将该比例代入基础方程，替换公式中的 $N_f q S_t$ ，并且利用子集相对权重 $\bar{w}_i$ 的性质 $\bar{\beta}_s = \sum \bar{w}_i \beta_i$ 进行合并化简，得到个股期货合约的买入数量：

$$N_i = \frac{[\beta^* + (\xi-1)\beta_s]V_t \bar{w}_i}{q_s p_{i,t} \left[ \bar{\beta}_s + \left( \frac{1 - \sum_{i=1}^{N_1} w_i}{\sum_{i=1}^{N_1} w_i} \right) \beta_f \right]}$$

以及股指期货的买入数量：

$$N_f = \frac{\left( \sum_{i=1}^{N_1} N_i q_s p_{i,t} \right) \cdot \left( 1 - \sum_{i=1}^{N_1} w_i \right)}{q S_t \cdot \sum_{i=1}^{N_1} w_i}$$

4.4 杠杆对收益率和风险的影响

我们在这里来分析不同情况下，三种实现杠杆途径的预期收益 $E(r_p)$ 和风险 $V(r_p)$ 情况。

由于这部分公式推导相对繁琐复杂，因此我们在此只给出结论。

4.4.1 情况一

在所有股票均具有充足流动性的情况下，整体组合的预期收益率和方差分别为：

$$E(r_p) = l E(r_s)$$ $$V(r_p) = l^2 V(r_s)$$

此时组合的超额收益率会完全按杠杆水平放大：$\left( \frac{\beta^*}{\beta_s} \right) \alpha_s$，不存在任何稀释。同时，风险也被同步放大，夏普比率保持不变。

4.4.2 情况二

当只有部分股票有个股期货，而我们把所有加杠杆的资金，全部放在这部分股票的个股期货上时。

从收益端来看：

• 杠杆倍率 $l$ 不再乘以整体的 $\alpha_s$，而是乘以了有期货的股票子集的超额收益 $\bar{\alpha}_s$。 如果这几只刚好有期货的股票超额收益率相对一般（即 $\bar{\alpha}_s$ 比较低），那么加杠杆反而会拖累整体的收益率。 从风险端来看：
• 相比于情况一，此时风险项中出现了协方差项 $Cov(\omega_s, \bar{\omega}_s)$，这是因为我们在少数股票上暴露了极大的头寸，导致非系统性风险急剧膨胀。

因此，在实盘中，这种做法通常不会被我们采用。

4.4.3 情况三

当只有部分股票有个股期货，且我们结合使用个股期货和股指期货的时候，收益由底仓现货的收益，个股期货对超额收益的放大效应，以及股指期货对超额收益的稀释效应三部分共同组成。

因此，这一情况可以看作是情况一的次优替代。

5. 其他金融工具

除了股指期货和个股期货之外，其他可能用到的金融工具包括互换、期权等，但由于这部分工具个人使用较少，因此我们在这里暂不做介绍。